Astoņi āboli – tas nav pašsaprotami

2005. gada pašā sākumā es kopā ar sievu Annu vairākas dienas pavadīju Jeruzālemē, taču nevis pavadīju laiku divatā vai apguvu pilsētas dīvainākās vietas, bet metos meklēt dīvainus sarunbiedrus. Tieši pirms ieiešanas Dāvida Každana kabinetā pajautāju Annai: “Es eju sa­ru­nāties ar vienu no nopietnākajiem mūsdienu matemātiķiem; vai tev ir kāds jautājumus, kuru tu gribētu viņam uzdot?” Anna teica: “Pajautā viņam, kāpēc viens plus viens ir divi.” Ar to tad es arī sāku sarunu, kura pēc Každana vēlmes notika saskaņā ar nosacījumu, ka viņam ir stunda laika, bet, ja viņš nesaskatīs mūsu sarunā jēgu, viņš tai var veltīt piecpadsmit minūtes. Saruna ilga 18 minūtes.

A.R.

Rīgas Laiks: Vai drīkstu jums uzdot ļoti vienkāršu jautājumu?

Dāvids Každans: Jā.

RL: Kāpēc viens plus viens ir divi?

Každans: Tas nav vienkāršs jautājums. Vitgenšteins par to ir daudz rakstījis... Tas nav jautājums, ko mēs šajā sarunā varētu izrunāt.

RL: Tāpēc, ka atbilde būs ļoti gara?

Každans: Tāpēc, ka uz to nav iespējams dot labu atbildi. Jautājums nav skaidri definēts. Ko nozīmē “kāpēc”? Ko nozīmē “viens”? Ko nozīmē “divi”? Mēs nevaram pierādīt matemātikas iekšējo nepretrunīgumu, mēs nevaram izskaidrot, kāpēc tā darbojas.

RL: Vai matemātikā ir kaut kas tāds kā patiesība?

Každans: Tas atkarīgs no tā, ko jūs saprotat ar šo vārdu. Ir dažādas izpratnes, kas ir patiesība. Dažādas filozofiskas sistēmas strādā ar dažādām patiesības definīcijām. Tāpēc tik tiešs jau­tājums ir bezjēdzīgs.

RL: Vai tad jūs pats neizmantojat patiesības jēdzienu, kad runājat par matemātikas problēmām?

Každans: Nē, nekad.

RL: Kas matemātikā ir nosacīti vistuvākais patiesības jēdzienam?

Každans: Matemātiski jautājumi vienmēr ir skaidri definēti. Un uz tiem var gūt atbildi. Bet patiesība ir... Es neesmu pārliecināts, ka šādu valodu var lietot. Redziet, matemātikā mēs nekad ne­­izmantojam patiesības jēdzienu tā­dā nozīmē, kādā to lieto filozofi. Tās ir divas atšķirīgas lietas. Piemēram, jūs va­­­­rat spēlēties ar visparastāko patiesī­bas definīciju, kas darbojas kā sava veida atbilstība, saskaņotība. Bet matemātikā nav nekā, ar ko saskaņoties.

RL: Bet vai jūs piekristu tam, ka no­­­teiktības līmenis matemātikā ir krietni augstāks nekā jebkurā citā zinātnes jomā?

Každans: Jā, bet tam nav nekāda sa­­­kara ar patiesību. Noteiktība vienkārši nozīmē, ka... Ja jūs matemātikā pie­­­rādāt kādu teoriju, visiem gribot negribot ir jāpieņem, ka pierādījums ir pareizs. Ja pierādījumā nav kļūdu, ne­­viens nevarēs pateikt, ka tas ir nepareizs. Šajā gadījumā jūs varat runāt par noteiktību tādā nozīmē, ka eksistē kopīga valoda, kura darbojas. To pašu nevar teikt, piemēram, par dzeju. Vieniem kāds dzejolis liksies iz­­cils, citi turpretim apgalvos, ka tas ir mēsls. Pierādīt te neko nevar. Šajā ziņā matemātikai piemīt noteiktība tādā izpratnē, ka tā ir labi definēta valoda.

RL: Bet vai tā ir augstāka līmeņa no­­­teiktība nekā...

Každans: Tā ir augstāka līmeņa no­­teik­­tība tādā ziņā, ka ikviens matemātiķis piekritīs jūsu secinājumiem, ja pierādījums būs pareizs. Te ir runa tikai par piekrišanu. Ja jūs pierādāt kādu teoriju, varat būt drošs, ka visi pārējie matemātiķi jūsu pierādījumus pieņems. Bet, ja jūs uzrakstāt rakstu par Šekspīru un jums pašam tas liekas labs, jūs nevarat būt pārliecināts, ka arī citiem tas liksies labs. Šajā ziņā noteiktība ir, taču tā ir noteiktība, kas balstīta uz tādu kā nerakstītu sociālu vienošanos matemātiķu kopienas ietvaros.

RL: Cik man nācies ieskatīties pēdējā laikā tapušos rakstos par matemātiskām problēmām, godīgi jāatzīst, ka es tajos nesaprotu ne vārda.

Každans: Es jums ticu.

RL: Simboliskā daļa ir tik sarežģīta. Un es iedomājos – vai ir iespējams to salīdzināt ar sarežģītību, kas piemīt kabalistikas simboliem, kurus var saprast tikai iniciētie?

Každans: Nē, nē, nē. Tas ir pavisam kas cits. Kabalas simboli daudz vairāk līdzinās literatūras, nevis matemātikas simboliem. Matemātikā katru simbolu var aizstāt ar pilnu definīciju. Tas būs tas pats, tikai pierak­sts būs garāks. Dzejā vai Kabalā simbo­lus nevar aiz­­stāt ar definīcijām. Tas ir pilnīgi atšķirīgs simbolu pielieto­jums, kam nav nekāda sakara ar matemātiskiem simboliem.

RL: Bet ko īsti atspoguļo mūsdienu matemātikas sarežģītība – pasaules sarežģītību vai matemātiķu domāšanas sarežģītību?

Každans: Par pasauli es neteiktu, drīzāk tā ir matemātiskās pasaules jeb, kā mēdz teikt, matemātiskās domāšanas sarežģītība. Laika gaitā mums ir izdevies saprast arvien abstraktākus jēdzienus. Matemātiskā domāšana ir spe­kulatīva, tā nenodarbojas ar kaut ko aptaustāmu. Tāpēc izskaidrot la­­jam, par ko ir runa matemātikā, ir ļoti grūti. Bet tas nav nekas pārsteidzošs.

RL: Tātad matemātikas mērķis kaut kādā ziņā ir pašas matemātikas iekšpusē?

Každans: Pamatā matemātikas mērķis ir pašā matemātikā. Protams, ir tādi, kuri uzskata, ka kaut kādu neizskaidrojamu iemeslu dēļ tas viss vēlāk tiks izmantots fizikā un tamlīdzīgi. Taču matemātikas attīstību lielākoties virza uz priekšu tās iekšējais dzinējspēks. Tajā pašā laikā matemātikai piemīt kaut kāda neizskaidrojama liet­­derība. (Smejas.)

RL: Vai jūs varat izskaidrot matemātikas attiecības ar loģiku? Kura no kuras ir atkarīga?

Každans: Kad jūs sakāt “loģika”, jums jāpaskaidro, kura loģika. Vai tā ir Ari­stoteļa loģika vai Hēgeļa loģika, vai ma­­temātiskā loģika – ir dažādas loģikas. Aristoteļa loģika atspoguļo domāšanas pamatstruktūru. Un ir skaidrs, ka tā tiek izmantota gan matemātikā, gan daudz kur citur. Bet matemātiskā loģika ir mēģinājums organizēt... Matemātikā mums ir aksiomas un ir pa­­ņēmieni, ar kuriem var izdarīt slēdzienus no aksiomām. Tātad matemātika kaut kādā ziņā ir refleksija par valodu, kas nepieciešama, lai no aksiomām nonāktu pie slēdzieniem. Un šīs valodas formālā struktūra ir ļoti bagātīga.

RL: Vai matemātikā ir kaut kas tāds, ko jūs nesaprotat?

Každans: Daudz kas. Es nesaprotu, kāpēc tā darbojas. Es nesaprotu, kā­­pēc tā eksistē.

RL: (Smejas.)

Každans: Nē, patiešām. Kāpēc tā eksistē? Kāpēc tā ir tik bagātīga? Kāpēc dažkārt rezultāti, kas iegūti matemātikas jomā, pēkšņi izrādās ļoti no­­derīgi pavisam citā sfērā? Es to nesaprotu. Ir daudz lietu, kuras es nesaprotu.

RL: Bet tas, ko jūs minējāt – kāpēc matemātika eksistē, kāpēc tā darbojas –,ir jautājumi, kas skar matemātikas pašus dziļākos pamatus. Vai jūs do­­mājat par šīm lietām?

Každans: Es nezinu, kā par tām do­māt. Tas ir kā... Es gribētu par tām domāt, bet manā rīcībā nav valodas, kurā par tām domāt. Esmu nedaudz mēģinājis nodarboties ar filozofiju, bet es nespēju atrast valodu, kurā... Šie jautājumi, kuri vismaz man ir par lielu, lai par tiem domātu, ir diezgan specifiski, taču tajā pašā laikā pietiekami vispārīgi. Es varu mēģināt domāt par to, kāpēc algebrizācija ir tik noderīga un tamlīdzīgi, bet ir ļoti grūti atrast valodu, kurā šīs lietas definēt.

RL: Dekarts kādā šaubu mirklī pieļāva iespēju, ka pat trīs plus pieci nav astoņi, ja Dievs to nevēlas. Un daudzi viņam oponēja, teica, ka tā esot stulba ideja. Kā domājat jūs?

Každans: Nu, Vitgenšteins to pašu domu attīstīja tālāk. Ja atceraties, Vitgen­­šteinam pieder apgalvojums, ka, ja ņemam skaitļu rindu “2, 4, 6, 8” un tā uz priekšu, nav ne mazākās iespējas aprakstīt likumu, kurš šo sekvenci rada. Tas ir tieši tas pats, par ko runāja Dekarts.

RL: Tātad kaut kādā ziņā Vitgenšteins runā par to pašu?

Každans: Šeit ir runa par to, ko mēs pieņemam par pašsaprotamu. Ja mēs pieņemam par pašsaprotamu to, ka reizrēķina tabula ir Dieva dota, tad, protams, Dekarta jautājums ir bezjēdzīgs, jo mēs jau zinām, ka tā ir. Bet šeit jautājums ir tāds: vai tā ir patiesība, ka ikreiz, noliekot trīs ābolus blakus pieciem āboliem, jūs vienmēr iegūsiet vienu un to pašu rezultātu? Astoņi āboli – tas nav pašsaprotami. Bet kāpēc tas būtu jārisina? Tas ir eksperimentāls novērojums, kuru 18. gadsimtā sauca par matērijas ne­­zūdamības likumu.

RL: Es saprotu, ka mani idiotiskie jautājumi nav jūsu laika vērti.

Každans: Redziet, es nesaprotu, ko jūs īsti gribat. Es tiešām nesaprotu, ko jūs vēlaties noskaidrot. Es diez vai varēju jums ko palīdzēt.

RL: Iespējams, mani motīvi bija pā­­rāk savtīgi. Bet liels paldies jums, ka pieņēmāt manu muļķīgo piedāvājumu.